Métodos gráficos para datos multivariantes 

Introducción
Graficado sin hacer transformaciones
Gráficado transformando los datos
Análisis de componentes principales
Escalado multidimensional
Análisis de cluster
 

Introducción Arriba

El análisis multivariante está relacionado con conjuntos de datos que involucran más de una
variable para cada unidad de observación. En general tales conjuntos de datos vienen
representados por matrices de datos X  con n filas y p columnas, donde las filas representan
los casos, y las columnas las variables. En cuanto al análisis de tales matrices, unas veces
estaremos interesados en estudiar las filas (casos), otras veces las relaciones entre las
variables (las columnas) y algunas veces en estudiar simultáneamente ambas cosas.

Graficado sin hacer transformaciones Arriba
 

El primer comando que tenemos disponible para la tarea de explorar datos multivariantes es:

> pairs()

Vamos a ver cómo se puede utilizar para el conjunto de datos iris, que contiene
una base de 4 medidas tomadas sobre una muestra de 150 flores ornamentales (lirios).
Las medidas tomadas son la longitud y anchura de pétalos y sépalos. En el problema
original, se trataba de clasificar las flores en tres especies predeterminadas, utilizando
las cuatro medidas mencionadas.

> data(iris) # Cargamos el conjunto de datos iris
> iris[1:4,] # Mostramos 4 registros
  Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
1          5.1         3.5          1.4         0.2  setosa
2          4.9         3.0          1.4         0.2  setosa
3          4.7         3.2          1.3         0.2  setosa
4          4.6         3.1          1.5         0.2  setosa
> pairs(iris[,1:4]) # Mostramos los gráficos de dispersion de las variables

Ahora vamos a dibujar los datos etiquetados por especie. Asi nos daremos cuenta de si las flores
de una misma especie aparecen agrupadas con flores de la misma especie. Las flores que aparezcan
entre dos grupos corresponderán a flores difíciles de clasificar claramente en uno de los grupos.

Debido a que las etiquetas son bastante largas ("setosa", "virginica", "versicolor"), vamos a sustituirlas
por letras, para facilitar la visualización. Usaremos la "s" para setosa, la "v" para virginica, y la "c" para
versicolor:

> iris.especies<-c(rep("s",50),rep("c",50),rep("v",50))

Para dibujar incluyendo las etiquetas, podemos proceder asi:

> pairs(iris[,1:4],panel=function(x,y,...) text(x,y,iris.especies))

El comando anterior dibujará las coordenadas de los datos, 2 a 2, etiquetando con la clase de cada flor.

Un modo alternativo de proceder es generarnos nosotros mismos gráficos similares. Podríamos hacer
(entre otras posibilidades), algo así como:

> par(mfrow=c(1,2))
> plot(iris[,1],iris[,2])
> points(iris[iris.especies=="s",1],iris[iris.especies=="s",2],col=2)
> points(iris[iris.especies=="c",1],iris[iris.especies=="c",2],col=3)
> points(iris[iris.especies=="v",1],iris[iris.especies=="v",2],col=4)
>  plot(iris[,1],iris[,3])
>  points(iris[iris.especies=="s",1],iris[iris.especies=="s",3],col=2)
> points(iris[iris.especies=="c",1],iris[iris.especies=="c",3],col=3)
>  points(iris[iris.especies=="v",1],iris[iris.especies=="v",3],col=4)

La primera orden hace que la pantalla de dibujo quede dividida como una matrix 1 x 2, esto es,
una matriz con una fila y dos columnas, por tanto, dos graficos en uno de esa manera.
La segunda orden dibuja en el primer gráfico las coordenadas 1 y 2 de los datos.
La tercera orden y siguientes van repintando los puntos que corresponden a cada especie.
Observad al dar cada orden lo que sucede.
El segundo bloque de ordenes pinta la coordenada 1 frente a la dos y hace lo mismo.

En el caso en que alguien disponga del paquete SPLUS, puede utilizar una orden
no implementada aún en R, denominada brush. El modo de empleo sería:

>  brush(iris)

Graficado transformando los datos Arriba
 

Cuando los datos tienen más de 3 dimensiones, dibujar las coordenadas 2 a 2 puede
ser interesante, pero cuando hay muchas, puede ser más interesante hacer una proyección
de los datos usando algún tipo de transformación lineal o no linea, que nos permita
resumir en un gráfico de dos dimensiones las características más importantes de los mismos
en cuanto a variabilidad, en cuanto a conservación de distancias en la proyección, o en cuanto
a la representación gráfica de los clusters hallados en el conjunto de datos.

A continuación pasamos a exponer las diversas técnicas, junto con los comandos en R
que las implementan.

Análisis de componentes principales Arriba

Esta técnica funciona construyendo automáticamente un conjunto de combinaciones lineales
de las variables del conjunto de datos, con la máxima variabilidad posible. Cada componente
principal viene determinada por un vector propio de la matriz de covarianzas o correlaciones
de los datos, esto es, un vector propio de la matriz  X^T X. Geométricamente, el primer vector
propio de la matriz corresponde a la dirección de máxima variabilidad en el conjunto de datos,
que es la dirección sobre la que se proyectará.
Por ejemplo, si tenemos datos sobre una elipse alargada, y hacemos un análisis de componentes
principales con una sola componente, la coordenada que representará nuestro conjunto de
datos corresponderá a la proyección de los datos sobre el eje principal de la elipse.

Una imagen gráfica de esto puede consultarse en:

http://www.cs.unc.edu/Research/Image/Object-shape-tutorial-Pizer/sld051.htm
 

Podéis encontrar información más detallada de la teoría en cualquier libro de análisis multivariante,
y en la red, podéis acudir a los siguientes links, por ejemplo:

http://www.stat.lsa.umich.edu/~faraway/stat503/lecnotes/
http://fonsg3.let.uva.nl/praat/manual/Principal_component_analysis.html
http://diwww.epfl.ch/mantra/tutorial/english/pca/html/

Para usar componentes principales hay que cargar una librería de las varias que hay con R
para análisis multivariante (mva, multiv y otras). Por ejemplo:

> library(mva)
> library(help=mva)    # Aqui se ve qué funciones vienen con la libreria
> data(iris)                          # Cargamos los datos de las flores
> iris.pca<-prcomp(iris[,1:4])        #  Realizamos el análisis de
                                         componentes principales
> attributes(iris.pca)                # Miramos a ver qué devuelve un tal
                                        análisis
$names
[1] "sdev"     "rotation" "x"

$class
[1] "prcomp"

Ahora dibujamos las dos primeras componentes principales y etiquetamos:

> plot(iris.pca$x[,1:2],type="n")
> text(iris.pca$x[iris.especies=="s",1:2],col=2,"s")
> text(iris.pca$x[iris.especies=="v",1:2],col=3,"v")
> text(iris.pca$x[iris.especies=="c",1:2],col=4,"c")

La estructura  iris.pca$x  contiene las coordenadas de los puntos, luego al pedir que dibuja las 1:2 estamos
pidiendo que dibuje las dos primeras componentes. El type="n" hace que dibuje pero que no se vea, esto
es, marca las dos primeras coordenadas. Las demás órdenes dibujan los puntos por clases con un color
distinto para cada clase.

Como se puede apreciar en el gráfico, hemos conseguido representar un conjunto de dimensión 4 por
un conjunto de dimensión 2, y si comparáis con los gráficos ya hechos de los datos iris, puede verse
que la estructura se ha respetado bastante fielmente. Puede concluirse que hay 3 grupos, uno bien
separado y otros dos más juntos. Y en efecto, así es.

La técnicas de componentes principales podéis emplearla para cualquer conjunto de datos del cual
queráis haceros una idea de la estructura. También puede utilizarse para codificar información, en
el sentido de sustituir la codificación original de ciertos datos por otra que ocupe menos espacio.
Así por ejemplo, si se dispone de imágenes de fotos (en blanco y negro, representadas por niveles
de gris), puede utilizarse la técnica de componentes principales para reducir la dimensión de las
imágenes.
Podéis encontrar información más detallada a este respecto en:

http://www.willamette.edu/~gorr/classes/cs449/Unsupervised/pca.html
http://www.kbs.twi.tudelft.nl/Education/Cyberles/Budapest/page4.htm

Para saber cúantas componentes son suficientes para representar fidedignamente
un conjunto de datos (por ejemplo, si el conjunto tiene dimensión 10, deberemos
usar 2, 3, ¿cuántas componentes?) se miran los valores propios asociados
a la descomposición comentada más arriba. Tales valores se guardan en "sdev",
de manera que en el ejemplo del iris:

> iris.pca$sdev
[1] 2.0562689 0.4926162 0.2796596 0.1543862

Observamos que los valores se dan de mayor a menor. Tales valors corresponden
a variabilidades a lo largo de los ejes de proyección (esto es, las componentes
principales). Para hacernos una idea de su importancia relativa, iremos calculando
la suma acumulada, dividida por la suma total para que resulte 1:

> cumsum(iris.pca$sdev^2)/sum(iris.pca$sdev^2)
[1] 0.9246187 0.9776852 0.9947878 1.0000000

Como vemos, con 1 componentes se recoge aproximadamente el92% de la
variabilidad de los datos, lo que no es poco a efectos de visualización. También
vemos que con 3 componentes ya se explica el 99% de la variabilidad, esto
es, una componente no aporta casi nada de información a efectos de explicar
la estructura de los datos. La razon de tomar los cuadrados es porque la
varianza es el cuadrado de la desviación típica.
 
 

Escalado multidimensional Arriba

La idea del escalado multidimensional es la misma que la del análisis de componentes
principales: Se trata de representar los datos en baja dimensión (usualmente 2), pero
en este caso, en vez de utilizar las coordenadas de los datos para llevar a cabo la
transformación, se usará la información proporcionada por las distancias entre los datos.

Esta manera de proceder tiene mucho sentido para datos cuyas coordenadas no
conocemos , pero de los cuales conocemos las distancias entre ellos. Por ejemplo,
en un mapa de carreteras vienen las distancias en kilometros entre diversas ciudades
españolas. Esta técnica permite reconstruir las coordenadas de los datos, conociendo
las distancias entre los mismos.

Podéis consultar ejemplos y la teoría más detallada en:

http://www.stat.lsa.umich.edu/~faraway/stat503/lecnotes/
http://www.analytictech.com/networks/mds.htm

Otro caso en el que el escalado multidimensional resulta útil se da cuando la información
viene dada por matrices de preferencias. Este es el caso cuando se pide a un grupo de
alumnos que asignen preferencias al resto de sus compañeros.

Como primer ejemplo, consideraremos el que viene con la función cmdscale de R
(libreria mva):

> data(eurodist)     # Cargamos los datos en memoria
> attributes(eurodist)
$Size
[1] 21

$Labels
 [1] "Athens"          "Barcelona"       "Brussels"        "Calais"
 [5] "Cherbourg"       "Cologne"         "Copenhagen"      "Geneva"
 [9] "Gibralta"        "Hamburg"         "Hook of Holland" "Lisbon"
[13] "Lyons"           "Madrid"          "Marseilles"      "Milan"
[17] "Munich"          "Paris"           "Rome"            "Stockholm"
[21] "Vienna"

$class
[1] "dist"

> eurodist.mds <- cmdscale(eurodist)

> x <- eurodist.mds[,1]
> y <- -eurodist.mds[,2]
> plot(x, y, type="n",
> xlab="", ylab="")
> text(x, y, names(eurodist), cex=0.5)

Asi pues, eurodist es un objeto que guarda los nombres de las distancias, la matriz de distancias entre
las ciudades, asi como el numero de objetos, que se podría recuperar escribiendo:

> attr(eurodist,"Size")
[1] 21

El proceso de escalado se realiza con la función  cmdscale    y después
se dibuja el mapa de las ciudades con sus nombres. Podéis repetir el proceso
con algunas ciudades españolas. El mapa que obtendréis puede aparecer
rotado o invertido, dado que el método garantiza la conservación de las
distancias, pero eso no garantiza que la orientación en el plano sea la correcta.

A continuación vamos a dibujar un mapa de preferencias entre un grupo
de 8 personas. Cada persona asigna 1 a las personas de su preferencia.
Dicho mapa reflejará grupitos de amigos. Observad que en la diagonal hay
unos, asumiendo que uno es amigo de sí mismo.

Los datos podéis encontrarlos aquí:

amigos.txt

La matriz de datos presenta el siguiente aspecto:

       paco pepe lola juan carlos luis ana pedro
paco      1    1    0    0      0    0   0     1
pepe      1    1    0    0      0    1   0     1
lola      0    0    1    1      0    0   1     0
juan      0    0    1    1      0    0   1     1
carlos    0    1    0    0      1    0   0     1
luis      1    0    1    0      1    1   0     0
ana       1    1    0    0      0    0   1     0
pedro     1    1    0    0      0    0   0     1

Para leer dicha matriz de un archivo, se puede leer directamente, como hago yo
a continuación, o de otra forma que prefiráis. El directorio que pongo yo
en la orden scan es el mío. En vuestro caso, podrá variar.

> amigos.txt<-scan("c:\\cursoada\\amigos.txt")
Read 64 items
> amigos.txt<-structure(amigos.txt,dim=c(8,8),byrow=T)
> amigos.txt<-t(amigos.txt)
> amigos.txt
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,]    1    1    0    0    0    0    0    1
[2,]    1    1    0    0    0    1    0    1
[3,]    0    0    1    1    0    0    1    0
[4,]    0    0    1    1    0    0    1    1
[5,]    0    1    0    0    1    0    0    1
[6,]    1    0    1    0    1    1    0    0
[7,]    1    1    0    0    0    0    1    0
[8,]    1    1    0    0    0    0    0    1
attr(,"byrow")
[1] TRUE
> rownames(amigos.txt)<-c("paco","pepe","lola","juan","carlos","luis","ana","pedro")
> colnames(amigos.txt)<-c("paco","pepe","lola","juan","carlos","luis","ana","pedro")
> amigos.txt
> plot(amigos.mds[,1],amigos.mds[,2],type="n")
> text(amigos.mds[,1],amigos.mds[,2],labels=rownames(amigos.txt))

El comando rownames asigna nombres a las filas, y colnames hace lo propio con las columnas.
El gráfico final os mostrará una imagen bidimensional de las preferencias de esas personas
 

Análisis de cluster Arriba
 

El análisis de cluster, denominado en español a veces análisis de conglomerados, es una técnica no
supervisada para descubrir la estructura de datos de un conjunto. Entra en el apartado de técnicas
gráficas para datos multivariantes por el siguiente motivo: Cuando unos datos son de alta dimensión,
es bastante dificil descubrir cuántos grupos hay en el conjunto de datos, y qué dato pertenece a
cada grupo, en su caso. El análisis de cluster engloba una serie de técnicas para dividir el conjunto
de datos en una serie de grupos, y frecuentemente se apoya en métodos de visualización propios
para la visualización de tales grupos.

La información que se usa para llevar a cabo la mayoría de los procedimientos de análisis de cluster es
la proporcionada por las distnacias entre los datos, al igual que en el caso del escalado.
Aunque hay varias maneras de llevar a cabo la construcción de los grupos, hay dos grandes grupos
de técnicas: las técnicas jerárquicas y las técnicas no jerárquicas.

Las técnicas jerárquicas proceden por niveles a la hora de construir los grupos. En un caso se
procede de abajo hacia arriba, considerando tantos grupos como datos hay en el conjunto, y agrupando
sucesivamente hasta que solo queda un grupo. La visualización del procedimiento utilizando una
herramienta gráfica denominada dendrograma, ayudará a descubrir la estructura de grupos en los datos.
Para ir agrupando los datos, primero se buscan los datos más cercanos entre sí. En el segundo nivel
se agrupan los grupos más cercanos entre si, y asi sucesivamente.
El otro caso frecuente es partir de un sólo grupo e ir partiendolo en grupos más pequeños hasta llegar
al nivel de los datos individuales.
Para todas estas técnicas jerárquicas hay librerías en R. Aquí utilizaremos la libreria mva, y dentro de ella
la rutina más popular, hclust.

Para ilustrar el funcionamiento, vamos a utilizar una base de animales descritos por algunas características.
Los datos están en:

animal.txt
animal.des
anima2.des

Leemos los datos:

> animal<-scan("c:\\cursoada\\animal.txt")
Read 208 items
> animal<-structure(animal,dim=c(13,16),byrow=T)
> animal<-t(animal)

Hasta aqui tenemos la matrix animal como una matriz de 16 animales por 13 caracteristicas.
Ahora leemos los nombres de los animales y de las caracteristicas:

> animal.carac<-scan("c:\\cursoada\\animal.des",what=character())
Read 13 items
> animal.nombres<-scan("c:\\cursoada\\anima2.des",what=character())
Read 16 items
> animal.nombres
 [1] "paloma"  "gallina" "pato"    "ganso"   "lechuza" "halcon"  "aguila"  "zorro"
 [9] "perro"   "lobo"    "gato"    "tigre"   "leon"    "caballo" "cebra"   "vaca"
> animal.carac
 [1] "peque"      "mediano"    "grande"     "bipedo"     "cuadrupedo" "pelo"
 [7] "pezu¤as"    "melena"     "plumas"     "caza"       "corre"      "vuela"
[13] "nada"

Asignamos nombres a filas y columnas:

> dimnames(animal)<-list(animal.nombres,animal.carac)

Y por ultimo, echamos un vistazo a una parte de la matriz:

> animal[1:5,1:10]
        peque mediano grande bipedo cuadrupedo pelo pezu¤as melena plumas caza
paloma      1       0      0      1          0    0       0      0      1    0
gallina     1       0      0      1          0    0       0      0      1    0
pato        1       0      0      1          0    0       0      0      1    0
ganso       1       0      0      1          0    0       0      0      1    0
lechuza     1       0      0      1          0    0       0      0      1    1

Podéis mirar toda la matriz, y ver que las descripciones son correctas, aunque algo simples, por supuesto.

Nuestro objetivo en un análisis de cluster sería visualizar de alguna manera la estructura de los datos, y
descubrir qué grupos de animales pueden existir.

Para ello, calcularemos la matriz de distancias entre los animales, descritos por sus características, realizaremos
el análisis de cluster sobre los grupos usando la función hclust, y después visualizaremos los grupos utilizando
el dendrograma:

> library(mva)
> animal.dist<-dist(animal)
> animal.hclust<-hclust(animal.dist)
> plot(animal.hclust)

Como podeis ver al repetir estos comandos, salen dos grandes grupos, uno con las aves, y otro con los
mamiferos.Dentro de las aves, veréis un grupo formado por las rapaces y otro por las demás, y dentro
de los mamíferos, una distinción entre mamíferos grandes y menos grandes, distinguiendo los cazadores
de los que no lo son. ¿A que queda bonito?

Esta técnica aplicada a datos menos evidentes, puede ayudarnos a descubrir grupos interesantes en
los datos bajo estudio.
 
 
 
 

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